判定三角形全等 元素对应很重要
发表时间：2014/2/25 14:16:22 浏览次数：2137
判定三角形全等 元素对应很重要
枞阳县花园初中 周郁葱
判定两个三角形全等有如下的一些定理
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。
2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)
SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。
H是英文斜边的缩写（Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（leg）。
6.三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等
如果没有规定边角的对应相等，两个三角形即使有四组元素甚至有五组元素分别相等，也可能不全等。
四组元素分别相等的两个三角形⊿ABC与⊿A´B´C´，分三种情形来讨论
一、三边一角(SSSA)，一定全等。
二、三角一边(AAAS)， 一定相似，但不一定全等。
例如： ∠A=∠A´， ∠B=∠B´， ∠C=∠C´。
AB=24， BC=12， CA=16，
A´B´=36， B´C´=18， C´A´=24.
三、两角两边(AASS)等价于三角两边(AAASS)（因为三角形的内角和恒为一平角），一定相似，但不一定全等。
五组元素分别相等的两个三角形⊿ABC与⊿A´B´C´，分两种情形来讨论
一、三边两角(SSSAA)，一定全等。
二、三角两边(AAASS)，一定相似，但不一定全等。
证明：设⊿ABC的三边 a≤b≤c；⊿A´B´C´的三边 a´≤b´≤c´，
∠A=∠A´，∠B=∠B´，∠C=∠C´。则⊿A´B´C´∽⊿ABC，设相似比为k。
Ⅰ、两组“同名”边元素（不对应）分别相等，
不失一般性，可设
a´=b，b´=a，又
=k。故得a=a´=b´=b，c´=c，k=1。
故这种情形等腰⊿A´B´C´≌等腰⊿ABC。
Ⅱ、两组“异名”边元素（不对应）分别相等，
不失一般性，可设a´=b，b´=c，
若设⊿ABC的三边a≥b≥c；⊿A´B´C´的三边a´≥b´≥c´，
∠A=∠A´，∠B=∠B´，∠C=∠C´。
显然⊿A´B´C´与⊿ABC相似，但⊿A´B´C´与⊿ABC不全等。
Ⅲ、两组“错位异名”边元素（不对应）分别相等
设a´=c，b´=a，因为a´≤b´，得到c≤a。
根据题设条件a≤b≤c可得：a=c，
进而可得：a=b=c=a´=b´=c´。
故这种情形等边⊿A´B´C´≌等边⊿ABC。
（编者注：此作发表在CN刊号杂志《中小学数学》www.zxxsx.cn）2014年第2期上。 作者电子邮箱：9wtzh9@gmail.com）
