与欧拉线有关命题的探究
发表时间：2012/9/20 11:10:48 浏览次数：2235
与欧拉线有关命题的探究
枞阳县花园初中 周郁葱
众所周知：等腰三角形的重心G、垂心H、外心O、内心I共线。那么其逆命题：重心G、垂心H、外心O、内心I共线的三角形是等腰三角形。是否正确？该如何证明呢？
证明：如上图所示，设G、H、O分别为⊿ABC的重心、垂心、外心，则G、H、O三心共线（欧拉线）。设I为⊿ABC的内心，连结AI、CI，并分别延长交⊿ABC的外接圆于M、N，连结OM交BC于E，连结ON交AB于F，则OM⊥BC、ON⊥AB，E、F分别为BC、AB的中点。
根据题意，内心I在欧拉线GHO上，
AH⊥BC、CH⊥AB，
因此⊿IAH∽⊿IMO、 ⊿ICH∽⊿INO，
进而可得
，又MO=NO，
可得AH=CH，进而∠HAC=∠HCA，
于是可得∠BAC=∠BCA 。
故得BA=BC。命题得证成立。
